3.1516 \(\int \cos ^2(e+f x) (a+b \sin (e+f x))^2 (c+d \sin (e+f x))^{4/3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=458 \[ -\frac{3 (c+d)^2 \left (208 a^2 c d^2-64 a b d \left (3 c^2-5 d^2\right )+b^2 c \left (54 c^2+d^2\right )\right ) \cos (e+f x) \sqrt [3]{c+d \sin (e+f x)} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2},-\frac{7}{3};\frac{3}{2};\frac{1}{2} (1-\sin (e+f x)),\frac{d (1-\sin (e+f x))}{c+d}\right )}{1040 \sqrt{2} d^4 f \sqrt{\sin (e+f x)+1} \sqrt [3]{\frac{c+d \sin (e+f x)}{c+d}}}-\frac{3 (c-d) (c+d)^2 \left (-208 a^2 d^2+192 a b c d+b^2 \left (-\left (54 c^2+91 d^2\right )\right )\right ) \cos (e+f x) \sqrt [3]{c+d \sin (e+f x)} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2},-\frac{4}{3};\frac{3}{2};\frac{1}{2} (1-\sin (e+f x)),\frac{d (1-\sin (e+f x))}{c+d}\right )}{1040 \sqrt{2} d^4 f \sqrt{\sin (e+f x)+1} \sqrt [3]{\frac{c+d \sin (e+f x)}{c+d}}}-\frac{9 \left (-26 a^2 d^2+64 a b c d+b^2 \left (-\left (18 c^2-13 d^2\right )\right )\right ) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{2080 d^3 f}-\frac{9 b (3 b c-2 a d) \sin (e+f x) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{208 d^2 f}+\frac{3 \cos (e+f x) (a+b \sin (e+f x))^2 (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{16 d f} \]

[Out]

(-9*(64*a*b*c*d - 26*a^2*d^2 - b^2*(18*c^2 - 13*d^2))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/3))/(2080*d^3*f) -
(9*b*(3*b*c - 2*a*d)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/3))/(208*d^2*f) + (3*Cos[e + f*x]*(a +
b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/3))/(16*d*f) - (3*(c + d)^2*(208*a^2*c*d^2 - 64*a*b*d*(3*c^2 - 5*d^2
) + b^2*c*(54*c^2 + d^2))*AppellF1[1/2, 1/2, -7/3, 3/2, (1 - Sin[e + f*x])/2, (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*
Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))/(1040*Sqrt[2]*d^4*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]*((c + d*Sin[e + f*x])/(c +
d))^(1/3)) - (3*(c - d)*(c + d)^2*(192*a*b*c*d - 208*a^2*d^2 - b^2*(54*c^2 + 91*d^2))*AppellF1[1/2, 1/2, -4/3
, 3/2, (1 - Sin[e + f*x])/2, (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))/(1040*Sq
rt[2]*d^4*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]*((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^(1/3))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.24225, antiderivative size = 458, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 11, number of rules used = 8, integrand size = 35, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.229, Rules used = {2922, 3050, 3033, 3023, 2756, 2665, 139, 138} \[ -\frac{3 (c+d)^2 \left (208 a^2 c d^2-64 a b d \left (3 c^2-5 d^2\right )+b^2 c \left (54 c^2+d^2\right )\right ) \cos (e+f x) \sqrt [3]{c+d \sin (e+f x)} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2},-\frac{7}{3};\frac{3}{2};\frac{1}{2} (1-\sin (e+f x)),\frac{d (1-\sin (e+f x))}{c+d}\right )}{1040 \sqrt{2} d^4 f \sqrt{\sin (e+f x)+1} \sqrt [3]{\frac{c+d \sin (e+f x)}{c+d}}}-\frac{3 (c-d) (c+d)^2 \left (-208 a^2 d^2+192 a b c d+b^2 \left (-\left (54 c^2+91 d^2\right )\right )\right ) \cos (e+f x) \sqrt [3]{c+d \sin (e+f x)} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2},-\frac{4}{3};\frac{3}{2};\frac{1}{2} (1-\sin (e+f x)),\frac{d (1-\sin (e+f x))}{c+d}\right )}{1040 \sqrt{2} d^4 f \sqrt{\sin (e+f x)+1} \sqrt [3]{\frac{c+d \sin (e+f x)}{c+d}}}-\frac{9 \left (-26 a^2 d^2+64 a b c d+b^2 \left (-\left (18 c^2-13 d^2\right )\right )\right ) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{2080 d^3 f}-\frac{9 b (3 b c-2 a d) \sin (e+f x) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{208 d^2 f}+\frac{3 \cos (e+f x) (a+b \sin (e+f x))^2 (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{16 d f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(4/3),x]

[Out]

(-9*(64*a*b*c*d - 26*a^2*d^2 - b^2*(18*c^2 - 13*d^2))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/3))/(2080*d^3*f) -
(9*b*(3*b*c - 2*a*d)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/3))/(208*d^2*f) + (3*Cos[e + f*x]*(a +
b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(7/3))/(16*d*f) - (3*(c + d)^2*(208*a^2*c*d^2 - 64*a*b*d*(3*c^2 - 5*d^2
) + b^2*c*(54*c^2 + d^2))*AppellF1[1/2, 1/2, -7/3, 3/2, (1 - Sin[e + f*x])/2, (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*
Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))/(1040*Sqrt[2]*d^4*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]*((c + d*Sin[e + f*x])/(c +
d))^(1/3)) - (3*(c - d)*(c + d)^2*(192*a*b*c*d - 208*a^2*d^2 - b^2*(54*c^2 + 91*d^2))*AppellF1[1/2, 1/2, -4/3
, 3/2, (1 - Sin[e + f*x])/2, (d*(1 - Sin[e + f*x]))/(c + d)]*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))/(1040*Sq
rt[2]*d^4*f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]]*((c + d*Sin[e + f*x])/(c + d))^(1/3))

Rule 2922

Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_
)])^(n_), x_Symbol] :> Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^n*(1 - Sin[e + f*x]^2), x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e, f, m, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && (IGtQ[m, 0] || IntegersQ[2*m, 2*n])

Rule 3050

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (C_.)
*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[(C*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(n
+ 1))/(d*f*(m + n + 2)), x] + Dist[1/(d*(m + n + 2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n
*Simp[a*A*d*(m + n + 2) + C*(b*c*m + a*d*(n + 1)) + (A*b*d*(m + n + 2) - C*(a*c - b*d*(m + n + 1)))*Sin[e + f*
x] + C*(a*d*m - b*c*(m + 1))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, n}, x] && NeQ[b*c -
a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 0] &&  !(IGtQ[n, 0] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[a, 0
] && NeQ[c, 0])))

Rule 3033

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((A_.) + (B_.)*sin[(e
_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[(C*d*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]*(a + b
*Sin[e + f*x])^(m + 1))/(b*f*(m + 3)), x] + Dist[1/(b*(m + 3)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*Simp[a*C*d + A*b*c*
(m + 3) + b*(B*c*(m + 3) + d*(C*(m + 2) + A*(m + 3)))*Sin[e + f*x] - (2*a*C*d - b*(c*C + B*d)*(m + 3))*Sin[e +
f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&
!LtQ[m, -1]

Rule 3023

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (
f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[(C*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1))/(b*f*(m + 2)), x] + Dist[1/(b*
(m + 2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*Simp[A*b*(m + 2) + b*C*(m + 1) + (b*B*(m + 2) - a*C)*Sin[e + f*x], x], x]
, x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] &&  !LtQ[m, -1]

Rule 2756

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[(b*
c - a*d)/b, Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m, x], x] + Dist[d/b, Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1), x], x] /; FreeQ[{
a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 2665

Int[((a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Dist[Cos[c + d*x]/(d*Sqrt[1 + Sin[c + d*x]]*Sqrt
[1 - Sin[c + d*x]]), Subst[Int[(a + b*x)^n/(Sqrt[1 + x]*Sqrt[1 - x]), x], x, Sin[c + d*x]], x] /; FreeQ[{a, b,
c, d, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[2*n]

Rule 139

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Dist[(e + f*x)^
FracPart[p]/((b/(b*e - a*f))^IntPart[p]*((b*(e + f*x))/(b*e - a*f))^FracPart[p]), Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n*
((b*e)/(b*e - a*f) + (b*f*x)/(b*e - a*f))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]
&&  !IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[b/(b*c - a*d), 0] &&  !GtQ[b/(b*e - a*f), 0]

Rule 138

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[((a + b*x)
^(m + 1)*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, -((d*(a + b*x))/(b*c - a*d)), -((f*(a + b*x))/(b*e - a*f))])/(b*(m + 1
)*(b/(b*c - a*d))^n*(b/(b*e - a*f))^p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !Inte
gerQ[n] &&  !IntegerQ[p] && GtQ[b/(b*c - a*d), 0] && GtQ[b/(b*e - a*f), 0] &&  !(GtQ[d/(d*a - c*b), 0] && GtQ[
d/(d*e - c*f), 0] && SimplerQ[c + d*x, a + b*x]) &&  !(GtQ[f/(f*a - e*b), 0] && GtQ[f/(f*c - e*d), 0] && Simpl
erQ[e + f*x, a + b*x])

Rubi steps

\begin{align*} \int \cos ^2(e+f x) (a+b \sin (e+f x))^2 (c+d \sin (e+f x))^{4/3} \, dx &=\int (a+b \sin (e+f x))^2 (c+d \sin (e+f x))^{4/3} \left (1-\sin ^2(e+f x)\right ) \, dx\\ &=\frac{3 \cos (e+f x) (a+b \sin (e+f x))^2 (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{16 d f}+\frac{3 \int (a+b \sin (e+f x)) (c+d \sin (e+f x))^{4/3} \left (-2 b c+3 a d+(a c+b d) \sin (e+f x)+(3 b c-2 a d) \sin ^2(e+f x)\right ) \, dx}{16 d}\\ &=-\frac{9 b (3 b c-2 a d) \cos (e+f x) \sin (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{208 d^2 f}+\frac{3 \cos (e+f x) (a+b \sin (e+f x))^2 (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{16 d f}+\frac{9 \int (c+d \sin (e+f x))^{4/3} \left (\frac{1}{3} \left (9 b^2 c^2-32 a b c d+39 a^2 d^2\right )+\frac{1}{3} d \left (13 a^2 c+4 b^2 c+32 a b d\right ) \sin (e+f x)+\frac{1}{3} \left (64 a b c d-26 a^2 d^2-b^2 \left (18 c^2-13 d^2\right )\right ) \sin ^2(e+f x)\right ) \, dx}{208 d^2}\\ &=-\frac{9 \left (64 a b c d-26 a^2 d^2-b^2 \left (18 c^2-13 d^2\right )\right ) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{2080 d^3 f}-\frac{9 b (3 b c-2 a d) \cos (e+f x) \sin (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{208 d^2 f}+\frac{3 \cos (e+f x) (a+b \sin (e+f x))^2 (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{16 d f}+\frac{27 \int (c+d \sin (e+f x))^{4/3} \left (\frac{1}{9} d \left (128 a b c d+208 a^2 d^2-b^2 \left (36 c^2-91 d^2\right )\right )+\frac{1}{9} \left (208 a^2 c d^2-64 a b d \left (3 c^2-5 d^2\right )+b^2 c \left (54 c^2+d^2\right )\right ) \sin (e+f x)\right ) \, dx}{2080 d^3}\\ &=-\frac{9 \left (64 a b c d-26 a^2 d^2-b^2 \left (18 c^2-13 d^2\right )\right ) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{2080 d^3 f}-\frac{9 b (3 b c-2 a d) \cos (e+f x) \sin (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{208 d^2 f}+\frac{3 \cos (e+f x) (a+b \sin (e+f x))^2 (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{16 d f}+\frac{\left (3 \left (208 a^2 c d^2-64 a b d \left (3 c^2-5 d^2\right )+b^2 c \left (54 c^2+d^2\right )\right )\right ) \int (c+d \sin (e+f x))^{7/3} \, dx}{2080 d^4}+\frac{\left (3 \left (c^2-d^2\right ) \left (192 a b c d-208 a^2 d^2-b^2 \left (54 c^2+91 d^2\right )\right )\right ) \int (c+d \sin (e+f x))^{4/3} \, dx}{2080 d^4}\\ &=-\frac{9 \left (64 a b c d-26 a^2 d^2-b^2 \left (18 c^2-13 d^2\right )\right ) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{2080 d^3 f}-\frac{9 b (3 b c-2 a d) \cos (e+f x) \sin (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{208 d^2 f}+\frac{3 \cos (e+f x) (a+b \sin (e+f x))^2 (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{16 d f}+\frac{\left (3 \left (208 a^2 c d^2-64 a b d \left (3 c^2-5 d^2\right )+b^2 c \left (54 c^2+d^2\right )\right ) \cos (e+f x)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(c+d x)^{7/3}}{\sqrt{1-x} \sqrt{1+x}} \, dx,x,\sin (e+f x)\right )}{2080 d^4 f \sqrt{1-\sin (e+f x)} \sqrt{1+\sin (e+f x)}}+\frac{\left (3 \left (c^2-d^2\right ) \left (192 a b c d-208 a^2 d^2-b^2 \left (54 c^2+91 d^2\right )\right ) \cos (e+f x)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(c+d x)^{4/3}}{\sqrt{1-x} \sqrt{1+x}} \, dx,x,\sin (e+f x)\right )}{2080 d^4 f \sqrt{1-\sin (e+f x)} \sqrt{1+\sin (e+f x)}}\\ &=-\frac{9 \left (64 a b c d-26 a^2 d^2-b^2 \left (18 c^2-13 d^2\right )\right ) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{2080 d^3 f}-\frac{9 b (3 b c-2 a d) \cos (e+f x) \sin (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{208 d^2 f}+\frac{3 \cos (e+f x) (a+b \sin (e+f x))^2 (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{16 d f}+\frac{\left (3 (-c-d)^2 \left (208 a^2 c d^2-64 a b d \left (3 c^2-5 d^2\right )+b^2 c \left (54 c^2+d^2\right )\right ) \cos (e+f x) \sqrt [3]{c+d \sin (e+f x)}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (-\frac{c}{-c-d}-\frac{d x}{-c-d}\right )^{7/3}}{\sqrt{1-x} \sqrt{1+x}} \, dx,x,\sin (e+f x)\right )}{2080 d^4 f \sqrt{1-\sin (e+f x)} \sqrt{1+\sin (e+f x)} \sqrt [3]{-\frac{c+d \sin (e+f x)}{-c-d}}}-\frac{\left (3 (-c-d) \left (c^2-d^2\right ) \left (192 a b c d-208 a^2 d^2-b^2 \left (54 c^2+91 d^2\right )\right ) \cos (e+f x) \sqrt [3]{c+d \sin (e+f x)}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (-\frac{c}{-c-d}-\frac{d x}{-c-d}\right )^{4/3}}{\sqrt{1-x} \sqrt{1+x}} \, dx,x,\sin (e+f x)\right )}{2080 d^4 f \sqrt{1-\sin (e+f x)} \sqrt{1+\sin (e+f x)} \sqrt [3]{-\frac{c+d \sin (e+f x)}{-c-d}}}\\ &=-\frac{9 \left (64 a b c d-26 a^2 d^2-b^2 \left (18 c^2-13 d^2\right )\right ) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{2080 d^3 f}-\frac{9 b (3 b c-2 a d) \cos (e+f x) \sin (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{208 d^2 f}+\frac{3 \cos (e+f x) (a+b \sin (e+f x))^2 (c+d \sin (e+f x))^{7/3}}{16 d f}-\frac{3 (c+d)^2 \left (208 a^2 c d^2-64 a b d \left (3 c^2-5 d^2\right )+b^2 c \left (54 c^2+d^2\right )\right ) F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2},-\frac{7}{3};\frac{3}{2};\frac{1}{2} (1-\sin (e+f x)),\frac{d (1-\sin (e+f x))}{c+d}\right ) \cos (e+f x) \sqrt [3]{c+d \sin (e+f x)}}{1040 \sqrt{2} d^4 f \sqrt{1+\sin (e+f x)} \sqrt [3]{\frac{c+d \sin (e+f x)}{c+d}}}-\frac{3 (c-d) (c+d)^2 \left (192 a b c d-208 a^2 d^2-b^2 \left (54 c^2+91 d^2\right )\right ) F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2},-\frac{4}{3};\frac{3}{2};\frac{1}{2} (1-\sin (e+f x)),\frac{d (1-\sin (e+f x))}{c+d}\right ) \cos (e+f x) \sqrt [3]{c+d \sin (e+f x)}}{1040 \sqrt{2} d^4 f \sqrt{1+\sin (e+f x)} \sqrt [3]{\frac{c+d \sin (e+f x)}{c+d}}}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 7.04558, size = 3522, normalized size = 7.69 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Cos[e + f*x]^2*(a + b*Sin[e + f*x])^2*(c + d*Sin[e + f*x])^(4/3),x]

[Out]

(513*a*b*c*AppellF1[1/3, 1/2, 1/2, 4/3, -((c + d*Sin[e + f*x])/((1 - c/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c
/d)*d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqrt[(d - d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*
x])^(1/3))/(455*f) + (81*b^2*c^4*AppellF1[1/3, 1/2, 1/2, 4/3, -((c + d*Sin[e + f*x])/((1 - c/d)*d)), -((c + d*
Sin[e + f*x])/((-1 - c/d)*d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqrt[(d - d*Sin[e + f*x])/(c +
d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))/(7280*d^3*f) - (18*a*b*c^3*AppellF1[1/3, 1/2, 1/2, 4/3, -((c + d*Sin[e + f*x]
)/((1 - c/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c/d)*d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqr
t[(d - d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))/(455*d^2*f) + (54*a^2*c^2*AppellF1[1/3, 1/2, 1/2,
4/3, -((c + d*Sin[e + f*x])/((1 - c/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c/d)*d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*
Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqrt[(d - d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))/(35*d*f) + (5211*b^2*c^2
*AppellF1[1/3, 1/2, 1/2, 4/3, -((c + d*Sin[e + f*x])/((1 - c/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c/d)*d))]*S
ec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqrt[(d - d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))
/(14560*d*f) + (9*a^2*d*AppellF1[1/3, 1/2, 1/2, 4/3, -((c + d*Sin[e + f*x])/((1 - c/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f
*x])/((-1 - c/d)*d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqrt[(d - d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c +
d*Sin[e + f*x])^(1/3))/(40*f) + (63*b^2*d*AppellF1[1/3, 1/2, 1/2, 4/3, -((c + d*Sin[e + f*x])/((1 - c/d)*d)),
-((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c/d)*d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqrt[(d - d*Sin[e +
f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))/(640*f) + (9*a*b*c^2*((-3*c*AppellF1[1/3, 1/2, 1/2, 4/3, -((c + d*S
in[e + f*x])/((1 - c/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c/d)*d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(
c - d)]*Sqrt[(d - d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))/d^2 + (3*AppellF1[4/3, 1/2, 1/2, 7/3, -
((c + d*Sin[e + f*x])/((1 - c/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c/d)*d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e
+ f*x])/(c - d)]*Sqrt[(d - d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(4/3))/(4*d^2)))/(65*f) + (81*b^2*c^5
*((-3*c*AppellF1[1/3, 1/2, 1/2, 4/3, -((c + d*Sin[e + f*x])/((1 - c/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c/d)
*d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqrt[(d - d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])
^(1/3))/d^2 + (3*AppellF1[4/3, 1/2, 1/2, 7/3, -((c + d*Sin[e + f*x])/((1 - c/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f*x])/((
-1 - c/d)*d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqrt[(d - d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[
e + f*x])^(4/3))/(4*d^2)))/(7280*d^3*f) - (18*a*b*c^4*((-3*c*AppellF1[1/3, 1/2, 1/2, 4/3, -((c + d*Sin[e + f*x
])/((1 - c/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c/d)*d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sq
rt[(d - d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))/d^2 + (3*AppellF1[4/3, 1/2, 1/2, 7/3, -((c + d*Si
n[e + f*x])/((1 - c/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c/d)*d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(c
- d)]*Sqrt[(d - d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(4/3))/(4*d^2)))/(455*d^2*f) + (3*a^2*c^3*((-3*
c*AppellF1[1/3, 1/2, 1/2, 4/3, -((c + d*Sin[e + f*x])/((1 - c/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c/d)*d))]*
Sec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqrt[(d - d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3)
)/d^2 + (3*AppellF1[4/3, 1/2, 1/2, 7/3, -((c + d*Sin[e + f*x])/((1 - c/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c
/d)*d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqrt[(d - d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*
x])^(4/3))/(4*d^2)))/(70*d*f) - (21*b^2*c^3*((-3*c*AppellF1[1/3, 1/2, 1/2, 4/3, -((c + d*Sin[e + f*x])/((1 - c
/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c/d)*d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqrt[(d - d*
Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))/d^2 + (3*AppellF1[4/3, 1/2, 1/2, 7/3, -((c + d*Sin[e + f*x]
)/((1 - c/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c/d)*d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqr
t[(d - d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(4/3))/(4*d^2)))/(1040*d*f) + (153*a^2*c*d*((-3*c*AppellF
1[1/3, 1/2, 1/2, 4/3, -((c + d*Sin[e + f*x])/((1 - c/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c/d)*d))]*Sec[e + f
*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqrt[(d - d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))/d^2 + (
3*AppellF1[4/3, 1/2, 1/2, 7/3, -((c + d*Sin[e + f*x])/((1 - c/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c/d)*d))]*
Sec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqrt[(d - d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(4/3)
)/(4*d^2)))/(280*f) + (9603*b^2*c*d*((-3*c*AppellF1[1/3, 1/2, 1/2, 4/3, -((c + d*Sin[e + f*x])/((1 - c/d)*d)),
-((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c/d)*d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqrt[(d - d*Sin[e +
f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))/d^2 + (3*AppellF1[4/3, 1/2, 1/2, 7/3, -((c + d*Sin[e + f*x])/((1 -
c/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c/d)*d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqrt[(d - d
*Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(4/3))/(4*d^2)))/(58240*f) + (24*a*b*d^2*((-3*c*AppellF1[1/3, 1/2
, 1/2, 4/3, -((c + d*Sin[e + f*x])/((1 - c/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c/d)*d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[(
-d - d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqrt[(d - d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(1/3))/d^2 + (3*AppellF1
[4/3, 1/2, 1/2, 7/3, -((c + d*Sin[e + f*x])/((1 - c/d)*d)), -((c + d*Sin[e + f*x])/((-1 - c/d)*d))]*Sec[e + f*
x]*Sqrt[(-d - d*Sin[e + f*x])/(c - d)]*Sqrt[(d - d*Sin[e + f*x])/(c + d)]*(c + d*Sin[e + f*x])^(4/3))/(4*d^2))
)/(91*f) + ((c + d*Sin[e + f*x])^(1/3)*((-3*(-216*b^2*c^4 + 768*a*b*c^3*d - 832*a^2*c^2*d^2 + 332*b^2*c^2*d^2
+ 7232*a*b*c*d^3 + 2912*a^2*d^4 + 1729*b^2*d^4)*Cos[e + f*x])/(58240*d^3) - (3*(8*b^2*c^2 + 896*a*b*c*d + 416*
a^2*d^2 + 117*b^2*d^2)*Cos[3*(e + f*x)])/(16640*d) + (3*b^2*d*Cos[5*(e + f*x)])/256 + (3*(-18*b^2*c^3 + 64*a*b
*c^2*d + 1144*a^2*c*d^2 + 23*b^2*c*d^2 + 80*a*b*d^3)*Sin[2*(e + f*x)])/(14560*d^2) - (3*b*(17*b*c + 32*a*d)*Si
n[4*(e + f*x)])/1664))/f

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.376, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left ( \cos \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2} \left ( a+b\sin \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2} \left ( c+d\sin \left ( fx+e \right ) \right ) ^{{\frac{4}{3}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(f*x+e)^2*(a+b*sin(f*x+e))^2*(c+d*sin(f*x+e))^(4/3),x)

[Out]

int(cos(f*x+e)^2*(a+b*sin(f*x+e))^2*(c+d*sin(f*x+e))^(4/3),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{2}{\left (d \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{4}{3}} \cos \left (f x + e\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)^2*(a+b*sin(f*x+e))^2*(c+d*sin(f*x+e))^(4/3),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*sin(f*x + e) + a)^2*(d*sin(f*x + e) + c)^(4/3)*cos(f*x + e)^2, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (-{\left ({\left (b^{2} c + 2 \, a b d\right )} \cos \left (f x + e\right )^{4} -{\left (2 \, a b d +{\left (a^{2} + b^{2}\right )} c\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} +{\left (b^{2} d \cos \left (f x + e\right )^{4} -{\left (2 \, a b c +{\left (a^{2} + b^{2}\right )} d\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2}\right )} \sin \left (f x + e\right )\right )}{\left (d \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{1}{3}}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)^2*(a+b*sin(f*x+e))^2*(c+d*sin(f*x+e))^(4/3),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(-((b^2*c + 2*a*b*d)*cos(f*x + e)^4 - (2*a*b*d + (a^2 + b^2)*c)*cos(f*x + e)^2 + (b^2*d*cos(f*x + e)^4
- (2*a*b*c + (a^2 + b^2)*d)*cos(f*x + e)^2)*sin(f*x + e))*(d*sin(f*x + e) + c)^(1/3), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)**2*(a+b*sin(f*x+e))**2*(c+d*sin(f*x+e))**(4/3),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{2}{\left (d \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{4}{3}} \cos \left (f x + e\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)^2*(a+b*sin(f*x+e))^2*(c+d*sin(f*x+e))^(4/3),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*sin(f*x + e) + a)^2*(d*sin(f*x + e) + c)^(4/3)*cos(f*x + e)^2, x)